📐 기술 수식화 및 논문화

👥 1. 군중 밀집도 예측 알고리즘 (Crowd Density Prediction)

대형 크루즈선 내에서 수천 명의 승객이 동시에 대피할 때, 특정 구간의 군중 밀집도를 실시간으로 정확하게 예측하는 것은 안전한 대피 경로 설계의 핵심 전제 조건입니다. 본 모듈에서는 Social Force Model, Kernel Density Estimation, 그리고 LWR 거시적 교통류 모델을 결합한 하이브리드 군중 밀집도 예측 체계를 수식화합니다.

1.1 Social Force Model (사회력 모델)

Helbing & Molnar (1995)의 Social Force Model을 기반으로, 각 보행자 i에 작용하는 힘을 다음과 같이 정의합니다. 보행자는 목적지를 향한 desire force, 다른 보행자와의 social force, 벽면과의 wall force, 그리고 확률적 random force의 합력에 의해 이동합니다.

각 구성 요소의 정의는 다음과 같습니다:

• F_i^desire = m_i · (v_i⁰ · e_i - v_i) / τ_i — 목표 방향으로의 가속력 (relaxation time τ 기반)
• F_ij^social = A_i · exp[(r_ij - d_ij) / B_i] · n_ij — 보행자 간 반발력
• F_iw^wall = A_w · exp[(r_i - d_iw) / B_w] · n_iw — 벽면 회피력
• F_i^random — 패닉 상태에서의 확률적 요동 (stochastic fluctuation)

1.2 Kernel Density Estimation (밀도 추정)

이산적인 승객 위치 데이터로부터 연속적인 밀도 필드를 추정하기 위해 Kernel Density Estimation (KDE)을 적용합니다.

여기서 K_h는 bandwidth h를 가진 2D Gaussian Kernel이며, (x_i, y_i)는 시간 t에서 보행자 i의 위치입니다. Bandwidth는 Silverman's Rule of Thumb에 의해 자동 결정됩니다.

1.3 LWR Model (거시적 교통류 모델)

Lighthill-Whitham-Richards (LWR) 모델은 보행자 흐름을 연속체로 취급하여 복도, 계단 등 1차원 통로에서의 밀도 변화를 보존 법칙으로 기술합니다.

1.4 Fundamental Diagram (기본 다이어그램)

밀도와 속도의 관계를 선형 모델로 정의합니다. 밀도가 증가함에 따라 보행 속도가 선형적으로 감소하는 Greenshields 모델을 적용합니다.

🌫️ 2. AI 기반 연기 확산 예측 모델 (Smoke Diffusion Prediction)

화재 시 연기는 가시거리를 급격히 감소시키고 유독 가스를 포함하여 대피자의 생존율에 직접적인 영향을 미칩니다. 본 모듈에서는 Navier-Stokes 방정식 기반의 물리 시뮬레이션과 LSTM 기반 딥러닝 예측 모델을 결합한 하이브리드 연기 확산 예측 체계를 정립합니다.

2.1 Navier-Stokes 방정식 (연기 수송)

비압축성 유체에 대한 Navier-Stokes 방정식을 기반으로 연기의 유동장을 기술합니다. 부력 항을 포함하여 화재에 의한 열적 상승 기류를 반영합니다.

2.2 Advection-Diffusion Equation (이류-확산 방정식)

연기 농도 C(x, y, z, t)의 시공간 변화를 이류 항(유동에 의한 수송)과 확산 항(분자 확산), 그리고 소스 항(화원에서의 발생)으로 기술합니다.

• C(x,y,z,t) — 연기 농도 (mass concentration, kg/m³)
• u — 유동 속도 벡터 (velocity field, m/s)
• D — 확산 계수 (diffusion coefficient, m²/s)
• S — 소스 항 (source term, 화원에서의 연기 생성률)

2.3 FDS Zone Model Coupling

NIST의 Fire Dynamics Simulator (FDS)에서 제공하는 zone model 결과를 본 시스템의 실시간 예측 모듈에 커플링합니다. FDS의 고해상도 CFD 결과를 사전 계산(pre-computation)하여 lookup table을 구축하고, 실시간으로는 LSTM 모델이 보간 및 외삽을 수행합니다.

2.4 LSTM 기반 실시간 예측 신경망

Long Short-Term Memory (LSTM) 네트워크를 사용하여 센서 데이터의 시계열 패턴으로부터 미래 연기 농도를 예측합니다. 입력은 과거 T timestep의 센서 측정값이며, 출력은 향후 Δt 시간 후의 각 구역별 연기 농도입니다.

2.5 온도장 예측 (Temperature Field)

화재로 인한 온도 분포 T(x,y,z,t)는 에너지 보존 방정식에 의해 결정되며, 연기 확산 모델과 커플링되어 열적 위험도를 동시에 평가합니다.

2.6 가시거리 모델 (Visibility Model)

연기 농도로부터 가시거리를 추정하는 Beer-Lambert 법칙 기반 모델입니다. 가시거리가 임계값 이하로 떨어지면 해당 구간은 대피 경로에서 제외됩니다.

여기서 K는 소광 계수(extinction coefficient)이며, 일반적으로 발광 표지판의 경우 K = 8, 반사 표지판의 경우 K = 3의 값을 사용합니다. 가시거리 V < 5m인 구간은 "연기 위험 구역"으로 분류됩니다.

🗺️ 3. 동적 위험지도 생성 (Dynamic Risk Map Generation)

동적 위험지도는 화재, 연기, 구조적 손상, 군중 밀집의 4가지 위험 요소를 가중합하여 공간-시간 연속 위험도 필드를 생성하는 FireNavi의 핵심 특허 기술입니다. 실시간 센서 데이터와 AI 예측 결과를 통합하여 매 초 갱신됩니다.

3.1 Multi-Hazard Weighted Sum (다중 위험요소 가중합)

• F(x, y, t) — Fire proximity risk: 화원까지의 거리 기반 위험도 (1/d² decay)
• S(x, y, t) — Smoke concentration: 연기 농도 기반 위험도 (가시거리 반비례)
• D(x, y, t) — Structural damage: 구조적 손상 위험도 (온도, 노출 시간 기반)
• C(x, y, t) — Crowd density: 군중 밀집에 의한 답압 위험도 (ρ > 4 인/m² 시 급증)

3.2 가중치 최적화 (Weight Optimization)

각 위험 요소의 가중치 w₁~w₄는 과거 화재 사고 데이터 및 시뮬레이션 결과로부터 최소제곱법(Least Squares)으로 최적화합니다.

3.3 공간 보간 (Spatial Interpolation) - Kriging Method

이산적인 센서 위치에서의 측정값으로부터 전체 공간의 위험도를 보간하기 위해 Ordinary Kriging을 적용합니다. 센서 간격이 불균일한 선박 내부 환경에 적합합니다.

가중치 λ_i는 variogram 함수 γ(h)로부터 결정되며, 추정 분산을 최소화하는 BLUE(Best Linear Unbiased Estimator)를 보장합니다.

3.4 시간적 진화 예측 (Temporal Evolution)

위험도의 시간 변화율은 각 위험 요소의 개별 진화와 위험 전파 속도 v_hazard에 의해 결정됩니다. 이를 통해 미래 위험 지도를 선행 예측(look-ahead prediction)하여 대피 경로를 사전에 조정합니다.

⏱️ 4. 대피시간 최소화 최적화 (Evacuation Time Minimization)

전체 승객의 대피 완료 시간을 최소화하는 것이 최종 목적 함수입니다. 이는 개별 승객의 대피 시간 중 최대값(bottleneck)을 최소화하는 minimax 문제로 정형화되며, 네트워크 흐름 최적화 기법으로 해결합니다.

4.1 목적 함수 (Objective Function)

여기서 P는 전체 승객 집합이며, T_i는 승객 i가 현재 위치에서 지정 출구까지 도달하는 데 걸리는 시간입니다.

4.2 흐름 보존 제약조건 (Flow Conservation)

각 노드 v에서 유출량과 유입량의 차이는 해당 노드의 승객 발생량(또는 흡수량) b_v와 같아야 합니다. 출발지 노드는 양수, 출구 노드는 음수, 통과 노드는 0의 값을 가집니다.

4.3 용량 제약조건 (Capacity Constraints)

각 엣지(복도, 계단, 문)의 흐름은 시간에 따라 변하는 용량 u_ij(t)를 초과할 수 없습니다. 화재나 연기로 인해 특정 경로의 용량이 0으로 감소할 수 있으며, 이는 동적 위험지도와 연동됩니다.

4.4 Multi-Commodity Flow (다중 상품 흐름)

서로 다른 출발지와 목적지를 가진 승객 그룹을 각각 하나의 commodity로 모델링합니다. 각 commodity k는 독립적인 흐름 보존을 만족하되, 모든 commodity의 합산 흐름이 엣지 용량을 초과하지 않아야 합니다.

4.5 출구 배정 최적화 (Exit Assignment)

여기서 x_ij는 승객 i를 출구 j에 배정할지의 이진 변수이며, c_ij는 해당 배정의 비용(이동 시간 + 위험 노출 비용)입니다. 각 승객은 정확히 하나의 출구에 배정되어야 합니다.

❤️ 5. 개인 건강상태 반영 경로 설계 (Health-Aware Route Design)

크루즈선 승객에는 노약자, 장애인, 임산부, 어린이 등 다양한 이동 능력을 가진 개인이 포함됩니다. 본 모듈에서는 개인의 건강 상태와 이동 능력을 정량적으로 반영하여 맞춤형 대피 경로를 설계하는 수학적 프레임워크를 제시합니다.

5.1 이동성 지수 (Mobility Factor)

5.2 속도 조정 함수 (Speed Adjustment)

함수 f(age, condition)은 연령과 건강 상태에 따른 보정 계수로, 다음과 같은 룩업 테이블로 정의됩니다:

5.3 우선순위 점수 (Priority Scoring)

우선순위 점수가 높은 승객은 더 안전하고 장애물이 적은 경로에 우선 배정됩니다. 가중치 α, β, γ는 각각 이동 능력 부족에 대한 보상, 취약성(나이, 건강 상태), 현재 위치의 위험도를 반영합니다.

5.4 ADA-Compliant Route Constraints (접근성 제약)

• 휠체어 접근 가능 경로: 문 폭 ≥ 900mm, 경사도 ≤ 1:12
• 계단 우회 경로: 엘리베이터 또는 경사로가 포함된 대안 경로 자동 탐색
• 시각 장애인 경로: 촉각 유도선(tactile guide) 설치 구간 우선 배정
• 보호자 동행: 어린이-보호자 간 경로 동기화 (그룹 대피 모드)

5.5 Wheelchair Accessible Path Filtering

그래프 G = (V, E)에서 휠체어 접근 불가 엣지를 제거한 서브그래프 G' = (V, E')에서 경로 탐색을 수행합니다. E' = {e ∈ E | width(e) ≥ 0.9m ∧ slope(e) ≤ 1/12 ∧ no_stairs(e)} 이 필터링된 그래프에서 Dijkstra 알고리즘을 적용하여 최단 접근성 경로를 도출합니다.

🤖 6. 다중 에이전트 경로 최적화 (Multi-Agent Route Optimization)

수천 명의 승객이 동시에 대피할 때, 개별 최적 경로의 단순 합산은 병목현상과 충돌을 야기합니다. 본 모듈에서는 Multi-Agent Path Finding (MAPF) 이론을 적용하여 전역 최적 경로 조합을 탐색합니다.

6.1 MAPF 문제 정의

여기서 π_i는 에이전트 i의 경로(path)이며, cost 함수는 이동 시간 + 위험 노출 비용의 합입니다.

6.2 충돌 회피 제약 (Collision Avoidance)

동일 시간 t에서 어떠한 두 에이전트도 같은 노드를 점유할 수 없습니다. 추가로 엣지 충돌(두 에이전트가 같은 엣지를 반대 방향으로 동시 이동)도 금지됩니다.

6.3 CBS (Conflict-Based Search) 알고리즘

CBS는 MAPF 문제를 효율적으로 해결하는 2단계 알고리즘입니다:

• High-level search: 충돌 트리(Constraint Tree)에서 각 충돌을 탐지하고, 충돌이 발생한 에이전트에 제약조건을 추가하며 분기(branch)합니다.
• Low-level search: 주어진 제약조건 하에서 개별 에이전트의 최단 경로를 A* 알고리즘으로 탐색합니다.

CBS는 최적성(optimality)을 보장하나, 에이전트 수가 많으면 계산 비용이 급증합니다. FireNavi에서는 승객을 구역별 그룹으로 클러스터링한 후 그룹 단위 CBS + 그룹 내 Local A*를 조합하는 계층적 접근법을 적용합니다.

6.4 강화학습 정책 (RL Policy)

6.5 Bellman Equation

Bellman 최적 방정식은 현재 상태-행동 쌍의 가치를 즉각 보상 r과 할인된 미래 최대 가치의 합으로 정의합니다. 할인 인자 γ는 미래 보상의 현재 가치 반영 정도를 조절하며, 대피 시나리오에서는 γ = 0.95 ~ 0.99의 높은 값을 사용하여 장기적 안전성을 중시합니다.

🧠 7. 강화학습 통합 모델 (RL Integration)

FireNavi의 핵심 AI 엔진은 Proximal Policy Optimization (PPO) 기반의 강화학습 모델로, 동적 환경에서 최적 대피 경로를 실시간으로 결정합니다. 멀티 에이전트 환경에서의 보상 설계와 정책 학습 체계를 정립합니다.

7.1 상태 공간 (State Space)

7.2 행동 공간 (Action Space)

8방향 이동 + 대기(wait)의 9가지 이산 행동으로 구성됩니다. wait 행동은 전방 경로가 과밀 상태이거나 연기가 확산 중일 때 일시적으로 안전한 위치에서 대기하는 전략적 선택입니다.

7.3 보상 함수 (Reward Function)

• -α · Δt — 시간 패널티: 매 timestep마다 부과하여 신속한 대피를 유도
• -β · risk(s') — 위험 패널티: 위험도가 높은 지역 진입 시 부과
• +γ · progress(s') — 진행 보상: 출구까지의 거리 감소 시 보상
• +δ · safety_bonus — 안전 보너스: 안전 구역 도달 시 큰 양의 보상

7.4 PPO (Proximal Policy Optimization) 학습

PPO는 정책 경사(Policy Gradient) 기반 알고리즘으로, clipping mechanism을 통해 학습 안정성을 보장합니다. 기존 TRPO 대비 구현이 간결하면서도 동등한 성능을 제공합니다.

여기서 r_t(θ) = π_θ(a_t|s_t) / π_θold(a_t|s_t)는 확률비(probability ratio)이며, Â_t는 추정된 이점 함수(advantage function), ε = 0.2는 clipping 파라미터입니다.

7.5 다중 에이전트 보상 형성 (Multi-Agent Reward Shaping)

개별 에이전트의 이기적 행동이 전체 대피 효율을 저하시키는 것을 방지하기 위해 사회적 보상 항을 추가합니다:

R^global은 전체 시스템의 대피 진행률, 평균 위험 노출도, 병목 해소율 등 전역 지표에 기반한 보상입니다. 혼합 계수 λ는 개인 이익과 집단 이익 간의 균형을 조절하며, 학습 커리큘럼에 따라 점진적으로 증가시킵니다.

📝 8. 논문 구성 요약 (Paper Structure Summary)

본 기술 모듈의 내용을 학술 논문으로 정형화하기 위한 구성 체계입니다. 국제 저널(예: Fire Safety Journal, Safety Science, Ocean Engineering)에 투고를 목표로 한 논문 구조를 제시합니다.

각 장별 상세 구성